Sólidos platónicos

Se llaman así porque Platón (uno de los más grandes filósofos de la antigüedad, cuando filósofo significaba "chico para todo") fue el primero en estudiarlos.

La pregunta que Platón se planteó fue: si considero los polígonos regulares (aquellos en los que todos los lados y ángulos miden lo mismo: triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, hexágono regular, heptágono regular,...), ¿qué figuras de tres dimensiones puedo formar juntando polígonos iguales?

Y la respuesta es que sólo hay 5 posibilidades (la demostración es una preciosidad). Aquí los tenéis (imagen de la Wikipedia):

Aparecen en la naturaleza, por ejemplo, en estructuras moleculares.

Si os habéis quedado con ganas, aquí tenéis más:

Sólidos arquimedianos

Construyendo mi ataud

 Corpus hypercubus, de Salvador Dalí

Mido 1'94 y, cuando muera (¡lo que tengo que hacer para captar vuestra atención!), me gustaría que mi ataúd tuviese forma hipercúbica de 1 centímetro de arista. Ya os aseguro que quepo. ¿En qué dimensión empieza a ser eso posible?

Primero vamos a responder a tres preguntas (hemos hecho este ejercicio en clase):


1) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar encima de un segmento de 1 centímetro?

La respuesta es fácil, como mucho, encima de ése, podré pintar otro segmento que mida 1 centímetro.

2) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar en un papelito cuadrado de 1 centímetro de lado?

Claramente el segmento más largo que podemos pintar es la diagonal del cuadrado. Llamamos a Pitágoras:

Es decir, como mucho podemos pintar un segmento de longitud raíz de 2 = 1'4142... centímetros.


3) ¿Cuánto mide la varilla más larga que puedo meter dentro de un cubo de 1 centímetro de arista?

Es muy parecido al caso anterior: lo más largo de un cubo es su diagonal, y podemos calcular su longitud aplicando Pitágoras (notad que las diagonales de las caras, que son cuadrados, miden raíz de 2):

Es decir, la varilla más larga que cabe mide raíz de 3 = 1'732...


Conclusiones:

- en un segmento de 1 cm (dejadme rebautizarlo: "hipercubo de dimensión 1" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" puede medir 1 cm,

- en un cuadrado de 1 cm de lado ("hipercubo de dimensión 2" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 2 = 1'4142... cm,

- en un cubo de 1 cm de arista ("hipercubo de dimensión 3" con arista 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 3 = 1'732... cm.

Efectivamente, esto sigue (matemáticamente existe y en el mundo real no lo sabemos -nadie ha demostrado que haya más de 3 dimensiones espaciales pero algunas teorías físicas sí plantean esta posibilidad-), y aunque hacer dibujos es (casi) imposible, las cuentas salen igual de fáciles y queda claro que las diagonales van siendo cada vez más y más largas:

- en un hipercubo de dimensión 4 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 4 = 2 cm,

- en un hipercubo de dimensión 5 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 5 = 2'236... cm,

- en general, en un hipercubo de dimensión n con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de n cm.

Responded ahora: ¿de qué dimensión tenéis que construir un "hiperataúd" de 1 cm de arista para que quepa un profesor de matemáticas de 194 cm?


Nota final: he dicho antes que los dibujos son casi imposibles. De igual manera que en las fotos o en los cuadros representamos en 2 dimensiones (utilizando la perspectiva) la realidad de 3 dimensiones (fijaos también en cómo dibujamos un cubo), en 3 dimensiones pueden hacerse representaciones del hipercubo de 4 dimensiones. Son ejemplos el cuadro de Dalí del principio o algunos monumentos (haced clic en las imágenes para saber algo más de ellos):

Monumento de la Constitución, en Madrid

Arco de la Defensa, en París

"Dibujo" de un hipercubo 4D

¿Sois tontos?

De momento sólo lo estoy preguntando. Vamos a ver si me decís como en el anuncio (¡o lo contrario!):

Dos preguntas (contestad en el formulario del final):

1) Supongo que todos los sabéis: el IVA es un impuesto (un 21% para la mayoría de los productos que compramos). Por ejemplo, si algo cuesta 100 euros (sin IVA), a nosotros nos cobran 121 euros (100+21 euros de IVA). Va la pregunta: vamos al Media Markt en el día sin IVA porque queremos comprar un teléfono que el día anterior (con el 21% de IVA incluido) costaba 100 euros: ¿cuánto tenemos que pagar?

2) (Basado en hechos reales). Queremos comprar un colchón y entramos en una tienda en cuyo escaparate hemos visto el siguiente cartel:

Nos atiende un amable dependiente que nos convence para comprar un colchón que inicialmente cuesta 1000 euros, y cuando nos disponemos a pagar nos dice:

Ahora le aplicamos el descuento: un 20% y se queda en 800 euros, y ahora otro 20% de descuento (de 800, que son 160 euros, y así hacemos el 40% total) y se queda en 640 euros, ¡una ganga!

Formulario para responder

Cuatro momentos de shock en la Historia de la Humanidad

Hay varios momentos en la Historia de la Humanidad en los que la ciencia ha llegado a descubrimientos que han roto las creencias tenidas hasta ese momento por inmutables. Os voy a hablar de cuatro de ellos:

1) Los números irracionales: lo hemos comentado en la anterior entrada y en clase. Los griegos del siglo V antes de Cristo pensaban que todos los números eran fracciones (que podían expresarse como "trocitos" del 1) y el descubrimiento de la irracionalidad de raíz de 2 se les hizo duro.

2) Las matemáticas no son infalibles: uno de los mejores matemáticos del siglo XX, Kurt Gödel (todo un personaje; os recomiendo que leáis su biografía en la Wikipedia) demostró que hay resultados en matemáticas que no son ni ciertos ni falsos (ojo, no estoy diciendo que no se sepa si son ciertos o falsos -de esos hay muchos-, digo que no son ni lo uno ni lo otro). Esto fue una cura de humildad para la reina de las ciencias, que siempre había "presumido" de ser un edificio de una completa lógica (y lo lógico es que algo sea cierto o falso).

3) La dilatación del tiempo: Einstein descubrió en sus dos teorías de la Relatividad que el tiempo transcurre a distinta "velocidad" para personas si estos se mueven entre sí o si están situados (o no) cerca de objetos con mucha masa. La película Interstellar juega con esa idea: un padre hace un viaje espacial en el que pasa un ratito en un planeta cercano a un agujero negro con mucha masa.

Cuando "poco tiempo después" (para él), vuelve del viaje, se produce el emotivo reencuentro:

Pero no hace falta ir a las cercanías de un agujero negro: nuestros dispositivos GPS funcionan porque tienen en cuenta este hecho cuando reciben las señales de los satélites.

GPS y Teoría de la relatividad

4) Los electrones son unos cachondos: uno de mis vídeos favoritos.

¿Qué cara se os ha quedado?

Los números irracionales (conclusión)

Vamos a viajar al siglo V a.C., a la antigua Grecia. En ella existía un grupo de matemáticos/filósofos (entonces venían a ser lo mismo) que eran conocidos como los pitagóricos (no hace falta explicar de quién eran seguidores). Su principal creencia era que todo el Universo podía ser explicado con números y que todos los números podían formarse dividiendo el 1 en "trozos'" iguales y eligiendo algunos de esos trocitos. Traducido a nuestras matemáticas actuales equivale a pensar que cualquier número se puede poner en forma de fracción. Para algunos, los exactos y periódicos, sabemos hacerlo:

A los griegos esto les parecía obvio y, a la mayoría de vosotros, también:

Pero, ¿es así para cualquier número? ¿cualquier número decimal puede ponerse en forma de fracción?

Como hemos dicho, los griegos pensaban que sí, hasta que uno de ellos, Hipaso de Metaponto, aplicó el Teorema de Pitágoras a un triángulo como el de la derecha y se preguntó, ¿cuál será la fracción que vale raíz cuadrada de 2?

Como Hipaso manejaba perfectamente el Teorema Fundamental de la Aritmética (¡sí, el de los números primos haciendo de ladrillos!), no le costó mucho deducir, para su sorpresa, que no había ninguna fracción cuyo valor fuese raíz de 2. No es difícil razonarlo aunque es abstracto y os cuesta entenderlo. Os enlazo un vídeo con la demostración y en clase veremos una versión que se entiende mejor a ver si alguno la pilláis.

Demostración de la irracionalidad de raíz de 2

Este descubrimiento provocó un verdadero sunami en la escuela pitagórica. Cuenta la leyenda que sus compañeros lo arrojaron al mar por revelar fuera de la secta esta catástrofe, aunque en realidad parece ser que lo que hicieron fue organizar un simulacro de funeral, con tumba incluida, que simbolizaba que para ellos Hipaso pasaba a estar muerto.

En la actualidad sabemos que sólo los números decimales exactos (que tienen un número finito de cifras decimales) y los números decimales periódicos (aquellos en los que hay un bloque que se repite continuamente) se pueden escribir en forma de fracción (los llamamos números racionales). Los que tienen infinitas cifras decimales sin periodo son los números irracionales (¡el nombre lo dice todo!) y raíz de 2 tiene el honor de haber sido el primero que descubrimos gracias a Hipaso, que se ganó la inmortalidad.

Vamos a responder a algunas preguntas que pueden venirnos a la cabeza:

¿Cuántas cifras decimales tiene raíz de 2? Infinitas porque es irracional. Además no hay ningún bloque que se repita periódicamente.

¿Cómo podemos conocer sus cifras decimales? En este caso sólo hay una manera, calculándolas. Es una tarea muy pesada que se hace con ordenadores. En el futuro os explicaré algunas técnicas. Aquí va un enlace a una página web en la que podéis ver el primer millón de cifras de raíz de 2 (para la calculadora: 1'414213562...)

Cifras decimales de raíz de 2

¿Sirve para algo calcular tantas cifras decimales? Para nada. En cualquier situación real  en la que se necesite hacer cálculos con raíz de 2 (construir una casa, lanzar un satélite, fabricar un coche...), con conocer unas pocas cifras decimales sobra.

¿Por qué se calculan entonces tantas cifras decimales? Es una especie de competición "deportiva" de matemáticos e informáticos para demostrar la potencia de sus técnicas y sus superordenadores.

Vamos, que hay por ahí matemáticos perdiendo el tiempo. No del todo. Las técnicas que se desarrollan para calcular los decimales pueden tener aplicaciones prácticas en otros campos.

Una última pregunta: entonces, ¿los números irracionales son aquellos de los que no sabemos cómo van sus cifras decimales? No. Son aquellos que tienen infinitas y no hay bloques (periodos) que se repiten, pero sí que pueden seguir patrones. Por ejemplo, son números irracionales:

0'12345678910111213141516... ¿cómo sigue?

0'010010001000010000010000001... ¿cómo sigue?

Otra, otra: ¿cuántos números racionales hay? ¿e irracionales? Hay infinitos de los dos tipos... pero... y eso ya son matemáticas un poco más serias... ¡¡hay más números irracionales que racionales!!

¡La última de verdad! Y aparte de los racionales y los irracionales, ¿hay más números?

¿A que quedaría bonito como póster en vuestra habitación?

Los numeros irracionales (1ª parte)

Cuenta la leyenda que una persona murió (¿asesinada?) por estropearles a los griegos el siguiente juego. Os explico las reglas y hacemos una encuesta.

Supongamos que tenemos un palito de longitud 1 (da igual la unidad, metro si queréis). Con ese palito podemos hacer dos cosas:

1) Podemos partirlo en trozos, con la única condición de que sean todos iguales.

2) Podemos coger algunos trozos de los anteriores (cuantos queramos: ninguno, unos pocos, muchos, o todos) y volverlos a pegar.

Ahora nos preguntan si, cogiendo un palito y siguiendo esas dos reglas, podemos formar palitos que midan exactamente cualquier longitud que nos digan entre 0 y 1. Vamos a hacer algunos ejemplos:

¿Podemos formar un palito que mida 0’3? Pues sí:

¿Podemos formar un palito que mida 0’13? Sí, con una idea parecida:

Si habéis pillado la idea deberíais contestar fácilmente a las dos primeras preguntas:

Pregunta 1: ¿Podemos formar un palito que mida 0’541? (Y en realidad, cualquier longitud con tres cifras decimales).

Pregunta 2: ¿Podemos formar un palito que mida 0’7713? (Y en realidad, cualquier longitud con cuatro cifras decimales).

Pero también podemos formar longitudes con infinitas cifras decimales, por ejemplo, ¿podemos formar un palito de longitud 0'6666666666666...? Fácilmente, si recordamos que ese número escrito en forma de fracción es dos tercios (¡podéis usar la calculadora!):

Pregunta 3: ¿Podemos formar un palito que mida 0'2222222222...? (Probad a hacer divisiones con la calculadora hasta que os salga este número).

¡Nota importante! En Matemáticas contestar no es decir Sí o No, es, aparte de eso, justificar la respuesta. En los tres casos si es que sí (y ya os digo yo que es que sí), ¿cómo conseguís un palito con cada longitud que nos piden?

Aquí llega la encuesta:

Haz clic para votar en la encuesta

Los que contestéis a las tres preguntas (en los comentarios del blog) 

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y participéis en la encuesta (para identificaros os va a pedir una dirección de correo electrónico), participaréis en el sorteo de una maravillosa carpeta conmemorativa del 50 aniversario del instituto (es lo último que me queda). El plazo termina el próximo miércoles 9 de octubre.