Concurso de Primavera (Resultados)

¡Bravo!

Noticia en la web del instituto

Material del Tema 11. Áreas y Volúmenes

Vamos con un tema bonito y divertido pero exigente, no por la dificultad en sí, sino porque vamos a trabajar la visión espacial y los ejercicios son largos y os van a obligar a una planificación a la que no estáis acostumbrados (y por eso mismo es importante, porque son capacidades de vuestro cerebro que tenéis que empezar a desarrollar).

Utilizaremos el siguiente material:

1) ÁREAS Y VOLÚMENES.

Apuntes de áreas

Apuntes de volúmenes

Sólidos de revolución

2) TRONCOS.

Apuntes tronco de cono

Ejercicio resuelto

Apuntes tronco de pirámide

Ejercicio resuelto

3) EJERCICIOS

Hoja de ejercicios

Modelo de examen

Solución

Solución (vídeo)

Preparando el examen de Pitágoras y Semejanza

Aquí van los exámenes de otros años (son todos iguales):

Examen 1	Solución

Examen 2	Solución

Examen 3	Solución

Examen 4	Solución

Examen 5	Solución

Examen 6	Solución

Examen 7 Solución Examen 8 Solución

Y aquí, el más reciente (¡y con el que más me he divertido al prepararlo en toda mi vida como profesor de instituto!), y que os propongo para dar un repaso final:

Examen 9	Solución

Concurso de la camiseta de Pi. Reto IV

Si me pedís que os haga una lista con los más grandes matemáticos de la Historia, en esa lista estarían, con no muchos más, Arquímedes, Newton, Euler y Gauss. La muerte del primero está envuelta en la leyenda: 

Uno de sus logros matemáticos más famosos fue dar la aproximación 22/7 = 3'14... para p (por eso el 22 de julio se celebra el "Día de la aproximación arquimediana de p"). ¿Cómo lo hizo? Con polígonos regulares de 96 lados. Vamos a ver la idea.

A Arquímedes se le ocurrió que como p es el área de una circunferencia de radio 1, podía aproximarla construyendo polígonos dentro de ella (inscritos; la aproximación sería por defecto) y polígonos por fuera (circunscritos; aproximaría por exceso).

Se puso manos a la obra y empezó con el hexágono (es cómodo porque con los radios se forman seis triángulos equiláteros y así sus lados miden 1). Lo tenéis hecho en los ejercicios 1, 2 y 3 del este examen:

Solución

Solución (vídeo)

Y luego siguió haciendo lo mismo con polígonos de 12, 24, 48 y 96 lados (la vida no le dio para más). ¿Por qué esta duplicación? Porque es fácil, una vez que tienes los datos de un polígono de un número determinado de lados (radio, lado y apotema), obtener los del polígono con el número doble de lados. 

El método de Arquímedes se siguió utilizando durante 1500 años para calcular más cifras decimales de p. Entre las historias más curiosas de los que dedicaron literalmente años enteros de sus vidas a hacer los cálculos, está la de Ludolph van Ceulen, que consiguió 35 cifras exactas con un polígono de 2⁶² lados y ¡pidió que las grabaran en su tumba!

Hoy en día todos esos cálculos son prácticamente instantáneos utilizando una hoja de cálculo:

Y ahora os toca a vosotros jugar a ser Arquímedes. Tenéis de plazo hasta el día que hagamos el próximo examen. Os podéis apuntar un máximo de 100 puntos. 

Reto IV de la camiseta de p

Notas:

Os he dado pistas y he incluido las soluciones. Vuestro trabajo es completar, paso a paso, el camino desde las pistas hasta las soluciones:

- el primer apartado es muy fácil (lo hicimos el año pasado en 1º),

- el segundo apartado también es sencillo,

- el tercer apartado es el más duro (hay que situarse bien y pensar un poco),

- podéis responder (y es inmediato) al cuarto apartado a partir de las soluciones de los dos apartados anteriores.

¡Feliz Semana Santa!

Estos días, descansad y recargad las pilas para el esfuerzo final. Pero hombre, todo, todo, todo, no va a ser descanso, porque sería muy aburrido, ¿verdad? Además, son tiempos de penitencia y aquí tenéis la vuestra:

Control de Semana Santa

Para compensar, os cuento cómo podéis vengaros y conseguir "El gran tartazo":

Ya os informará el tutor, pero os adelanto brevemente: en mayo todos los alumnos de 2º de ESO del instituto realizaréis las "Pruebas de diagnóstico", unos exámenes que hace el Ministerio de Educación, en las que se valorarán vuestras competencias de Lengua Castellana y Literatura, Matemáticas y Ciencias Experimentales.

Son exámenes que no tienen ninguna influencia en vuestras notas, que se hacen en gran parte de España para estudiar el nivel general de los alumnos, detectar problemas e intentar ponerles solución. Pero es importante que los hagáis con ganas. 

Para colaborar en vuestra motivación, aquí va la apuesta: si os sale bien y quedáis en el top-5 de institutos de La Rioja en matemáticas, Julia me pegará un tartazo.

Os enlazo el examen que pusieron en la anterior convocatoria para de veáis de qué va la cosa:

Prueba de matemáticas

Material del Tema 10. Semejanza

Este es un tema que me gusta mucho. A ver si a vosotros os engancha. Seguiremos este esquema:

1) SEMEJANZA.

Apuntes

2) TEOREMA DE TALES. TRIÁNGULOS SEMEJANTES.

Apuntes

Ejercicios ejemplo

Solución

3) TEOREMAS DE LA ALTURA Y EL CATETO.

Apuntes

Ejercicios ejemplo

Solución

Modelo de examen

Solución

Solución (vídeo)

Construyendo mi ataud

 Corpus hypercubus, de Salvador Dalí

Mido 1'94 y, cuando muera (¡lo que tengo que hacer para captar vuestra atención!), me gustaría que mi ataúd tuviese forma hipercúbica de 1 centímetro de arista. Ya os aseguro que quepo. ¿En qué dimensión empieza a ser eso posible?

Primero vamos a responder a tres preguntas (hemos hecho este ejercicio en clase):


1) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar encima de un segmento de 1 centímetro?

La respuesta es fácil, como mucho, encima de ése, podré pintar otro segmento que mida 1 centímetro.

2) ¿Cuánto mide el segmento más largo que puedo pintar en un papelito cuadrado de 1 centímetro de lado?

Claramente el segmento más largo que podemos pintar es la diagonal del cuadrado. Llamamos a Pitágoras:

Es decir, como mucho podemos pintar un segmento de longitud raíz de 2 = 1'4142... centímetros.


3) ¿Cuánto mide la varilla más larga que puedo meter dentro de un cubo de 1 centímetro de arista?

Es muy parecido al caso anterior: lo más largo de un cubo es su diagonal, y podemos calcular su longitud aplicando Pitágoras (notad que las diagonales de las caras, que son cuadrados, miden raíz de 2):

Es decir, la varilla más larga que cabe mide raíz de 3 = 1'732...


Conclusiones:

- en un segmento de 1 cm (dejadme rebautizarlo: "hipercubo de dimensión 1" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" puede medir 1 cm,

- en un cuadrado de 1 cm de lado ("hipercubo de dimensión 2" con "arista" 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 2 = 1'4142... cm,

- en un cubo de 1 cm de arista ("hipercubo de dimensión 3" con arista 1 cm), lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 3 = 1'732... cm.

Efectivamente, esto sigue (matemáticamente existe y en el mundo real no lo sabemos -nadie ha demostrado que haya más de 3 dimensiones espaciales pero algunas teorías físicas sí plantean esta posibilidad-), y aunque hacer dibujos es (casi) imposible, las cuentas salen igual de fáciles y queda claro que las diagonales van siendo cada vez más y más largas:

- en un hipercubo de dimensión 4 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 4 = 2 cm,

- en un hipercubo de dimensión 5 con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de 5 = 2'236... cm,

- en general, en un hipercubo de dimensión n con arista 1 cm, lo más grande que "cabe dentro" (en la diagonal) puede medir raíz de n cm.

Responded ahora: ¿de qué dimensión tenéis que construir un "hiperataúd" de 1 cm de arista para que quepa un profesor de matemáticas de 194 cm?


Nota final: he dicho antes que los dibujos son casi imposibles. De igual manera que en las fotos o en los cuadros representamos en 2 dimensiones (utilizando la perspectiva) la realidad de 3 dimensiones (fijaos también en cómo dibujamos un cubo), en 3 dimensiones pueden hacerse representaciones del hipercubo de 4 dimensiones. Son ejemplos el cuadro de Dalí del principio o algunos monumentos (haced clic en las imágenes para saber algo más de ellos):

Monumento de la Constitución, en Madrid

Arco de la Defensa, en París

"Dibujo" de un hipercubo 4D

Mapamundi

Si nos piden que pensemos en un mapa de nuestro planeta, a la mayoría nos viene algo así a la cabeza:

Mapamundi de Mercator

Y si a la vista del mismo nos preguntaran, por ejemplo, ¿qué es más grande, Groenlandia o África?, tendríamos que pensarnos la respuesta... aunque en realidad no hay mucho que pensar:

- Superficie de Groenlandia = 2'2 millones de km.

- Superficie de África = 30'4 millones de km.

Sí, África es unas 14 veces mayor que Groenlandia. ¡¿Qué está pasando aquí?!

Naturalmente todo tiene una explicación (¡matemática!) y es la siguiente:

No es posible representar, de forma semejante, la superficie de una esfera (y la Tierra lo es) en un plano. Es decir, podemos hacer "una especie de boceto", pero siempre habrá alguna distorsión.

El mapamundi más habitual (el de arriba) se basa en la proyección cartográfica de Mercator, que tiene la pega de que aumenta el tamaño de las regiones según se alejan del ecuador (y se acercan a los polos). Para que veáis más claro el "efecto mercator":

Aquí tenéis una comparativa de tamaños entre Mercator y la realidad (¿cómo veis ahora lo de África y Groenlandia?):

Hay otras opciones para hacer un mapamundi aunque todas tienen sus pegas. Por ejemplo, los dos siguientes respetan mejor los tamaños de las regiones terrestres pero el primero es un lío para las distancias por mar y en el segundo es muy difícil orientarse:

Os enlazo dos artículos sobre este tema y otras curiosidades:

Todos los mapas que conoces están mal

El mapa que mejor respeta las proporciones también está mal